迴圈褶積

　　兩個給定的序列分別延拓為週期性序列後，按週期褶積原理對其進行運算，結果也是一個週期性序列。如果僅取其一個週期內的結果，就得到迴圈褶積的序列。設有兩個長度均為N的序列x(n)和h(n)進行褶積，先將它們經週期延拓變為週期序列輞(n)和劯(n)，即

輞(n+kN)＝輞(n)　 劯(n+kN)＝􀀮(n)　0≤n≤N

式中k為任意整數，序列x(n)和h(n)可以分別看作周期序列􀌄(n)和􀀮(n)在一個周期內的主值序列。

　　x(n)和h(n)的循環褶積定義為

y(n)＝x(n)

n( n)＝ x( l) n( n- l) _N R _N( n)

　　　　n＝0，1，2，…，N-1

其中R_N(n)是矩形序列

R_N(n)＝

　　n_N是餘數運算表達式，它表示n對N 求餘數。

　　循環褶積的計算過程　現舉例說明循環褶積的計算過程。例如，兩個有限長度序列同為矩形序列

x(n)＝n(n)＝

這兩個矩形序列的N點循環褶積見圖。這個褶積過程可以理解為序列x(n)分佈在N等分的圓筒壁上，而序列h(n)經卷褶後也分佈在另一個N等分的同心圓筒壁上，每當兩個圓筒停在一定的相對位置時，兩個序列相乘求和即得褶積序列中的一個值。然後將一個圓筒相對於另一個圓筒旋轉移位，依次在不同位置下相乘求和，就得到全部褶積序列。由於序列h(n)是等值的，所以x(n)旋轉時，乘積x(l)h(n-l)的和總是等於N。

　　如果兩個序列x(n)和h(n)的長度分別為N和M，設x(n)代表信號序列，h(n)代表線性系統的沖激響應序列，則要求系統輸出是線性褶積

y(n)＝x(n)*h(n)

為瞭從它們的循環褶積得到線性褶積而不發生序列交疊的混淆現象，要將兩序列的長度各擴長為L≥

+ N-1，即 x( n)隻有前 N個非零值，後 L- N個均為補充的零值；而 h( n)隻有前 M個是非零值，後 L- M個均為補充的零值。由此求循環褶積，其結果就等於兩序列的線性褶積。

　　用快速傅裡葉變換計算循環褶積，當N 較大時，直接計算循環褶積的運算量相當大。因此，有必要尋求簡便、快速計算循環褶積的變換方法。為此，所用變換的快速結構必須具有若幹良好的性質。

　　①循環褶積性，即兩個序列的循環褶積的變換等於它們各自變換的乘積；

　　②變換是可逆的；

　　③變換是線性的。滿足上述性質的變換方法有傅裡葉變換、數論變換等。

　　當采用快速傅裡葉變換(FFT)技術求解褶積時，兩個時域序列的循環褶積的離散傅裡葉變換 (DFT)等於它們的離散傅裡葉變換之乘積，即

Y(k)＝DFT[x(n)

n( n)]＝ X( k) H( k)

對Y(k)求離散傅裡葉反變換(IDFT)，即可得到兩個序列的循環褶積

y(n)＝IDFT[Y(k)]

由上述計算過程可看出，直接褶積所需乘法運算次數為N²，利用FFT算法計算循環褶積共需要三次FFT運算（計算IDFT所需乘法次數與計算DFT的相同）與N 次乘法，總共需要乘法次數為

所以，N 越長，利用快速變換算法計算循環褶積的優越性越大。通常將循環褶積也稱為快速褶積。

　　

參考書目

　何振亞著：《數字信號處理的理論與應用》上冊，人民郵電出版社，北京，1983。

　A. V. Oppenheim，R. W. Schafer， Digital Signal Processing，Prentice Hall，Inc.，Englewood Cliffs，New Jersey，1975.