模糊集

　　論域X＝{x}上的模糊集濤是指x中由隸屬函數

表徵的元素全體， 在實軸的閉區間[0，1]中中取值， 的大小反映 x對模糊集 A的從屬程度。所討論的全體對象組成的普通集合稱為論域或空間。普通集合 X的元素是分明的,即對於任何元素隻存在屬於或不屬 X這兩種情況,二者必居其一，而隻有 X的子集 濤 才是模糊的。所以模糊集合通常是指模糊子集。 L.A.紮德於1965年首先提出模糊集的概念。他指出，人思維的一個重要特點是按模糊集的概念歸納信息。隨著計算機技術的發展，人們求解復雜問題的能力越來越強。在建立復雜問題的數學模型時，不可避免地要涉及事物的不確定性。不確定性包括隨機性和 模糊性。隨機性是指事件發生與否的不確定性，已由概率論完善地加以研究。模糊性則指事物本身從屬概念的不確定性。模糊集的概念一經提出，便在理論和應用兩個方面得到迅速發展。模糊集理論已應用到系統科學、自動控制、信息處理、人工智能、模式識別、醫療診斷、天氣預報、地震研究、農作物選種、體育訓練、化合物分類以及經濟學、心理學、社會學、語言學、生態學、管理學、法學和哲學等廣泛領域。

　　隸屬函數　設論域X＝{x}，則映射

確定X上的一個模糊子集濤，

稱為 濤 的隸屬函數，數 稱為 x ₀對 濤 的隸屬度。

　　模糊子集濤完全由其隸屬函數所刻劃。

接近1，表示 x從屬於 濤 的程度很高； 接近0,表示 x從屬於 濤 的程度很低。特別當 的值僅取閉區間的兩個端值{0，1}時，模糊子集 濤 便退化成為 X 的一個普通子集。因此，模糊集是普通集合概念的推廣。

　　基本運算　兩個模糊子集之間的運算實際上就是逐點對隸屬度作相應的運算。其基本運算可定義如下：

　　①等價關系：兩個模糊集濤和

是等價的,記為 濤≡ ，是指當且僅當對任何 x ∈ X， 成立。

　　②包含關系：模糊集濤包含於模糊集

中,或稱 濤是 的子集,記為 濤 ⊂ ,是指當且僅當對任何 x ∈ X， 成立。

　　③補集：模糊集峍 是濤 的補集，是指當且僅當對任何x ∈X，

成立。

　　④並集：兩個模糊集濤 和

的並集記為 濤∪ ，定義為包含 濤 和 的最小模糊集。 濤 ∪ 的隸屬函數定義為 ，常簡寫 。

　　⑤交集：兩個模糊集濤和

的交集 濤∩ 定義為同是這兩個集合的子集的最大模糊集。 濤∩ 的隸屬函數定義為 ,常簡寫成 。

　　λ水平截集　它是模糊集與普通集合相互轉化的一個重要概念。λ水平截集的定義為：設給定模糊集濤,對任意閾值λ∈[0，1]，稱普通集合

為濤 的λ水平截集。取模糊集濤 的λ水平截集A_λ,就是將隸屬函數轉化為特征函數：

　　分解定理　設濤是論域X 的一個模糊子集,A_λ是濤 的λ水平截集，λ∈[0，1]，則下列分解式成立：

這裡∪為並集運算符號，λA_λ表示X的一個模糊子集，稱為λ與A_λ的積，其隸屬函數為：

分解定理也可以寫成隸屬函數的形式。分解定理把模糊集的問題化為普通集合論的問題來解，應用分解定理可把許多在普通集合論中成立的基本等式推廣到模糊集中去。

　　擴展原理　設給定映射f:X →Y,則可把它擴展為映射妏:濤 →f(濤)。這裡妏稱為f的擴展，可簡記為f。擴展原理可解釋為濤 經過映射f後,其隸屬函數可以無保留地傳遞過去,即經過映射後模糊子集濤 和f(濤)的論域X和Y中的相應元素的隸屬度保持不變。若不是單值映射，則規定象的隸屬度取最大值。擴展原理是紮德於1975年首先引入的，可作為公理使用。它把普通集合論的方法擴展到模糊集中去。分解定理和擴展原理是模糊集理論的基礎。

　　

參考書目

　A.Kaufman, Introduction to the Theory of Fuzzy Subsets, Academic Press, New York,1975.