模糊邏輯

　　研究模糊命題演算和模糊推理的一種非佈林邏輯。從研究內容上看，模糊邏輯是把數理邏輯的聯結詞的使用和真值表的取值作瞭相應的推廣。它的發展與電腦科學的發展有關，在硬體方面主要是研究邏輯公式極小化，在軟體方面主要是似然推理的研究。

　　發展簡史　1965年美國控制理論傢L.A.紮德發表《模糊集合論》，創立瞭模糊集理論。1966年P.N.馬利諾斯發表關於模糊邏輯的內部研究報告，標誌著模糊糊邏輯的正式誕生。70年代初紮德提出模糊語言變量的概念，並將其用於似然推理。1975年E.H.曼達尼把模糊邏輯與模糊語言用於工業控制，提出模糊控制論，使模糊邏輯進入實用階段。美國學者J.A.戈根和H.J.斯卡勒等人對模糊邏輯進行瞭廣泛而深入的研究。現在模糊邏輯已用於模糊控制、模糊語言、計算機科學和醫療診斷等方面。

　　真值集與語言真值　佈爾邏輯所研究的命題，其真假能明確判定，可分別用1、0表示真、假，其真值集合L₀＝{0，1}。對於模糊命題，隻能談論其真假程度，而不能簡單地判斷其真假,其真值集合L比L₀復雜。最簡單的情形是取L₁＝[0，1]，這樣的模糊邏輯就是連續值邏輯，僅使實際背景變得明確些。在多因素或多目標的應用場合，常取L_n＝[0，1]_n。

　　模糊邏輯的研究重點是取L為語言值的集合L^*≜｛真，較真，很真，假，較假，很假，未知，…｝。L^*中的元素叫做語言真值，它們都是自然語言中的一些判斷詞。使用它們作為真值的邏輯叫做語言值邏輯，具有重要的應用價值。在語言值邏輯中，所有的語言真值均被描述成普通真值集L₁上的模糊子集。例如,μ

( λ)≜ λ，μ ( λ)≜1－ λ，μ （ λ）≜ λ ²， μ （ λ）≜(1－ λ) ²,…。於是， L ^* ⊂ L ，語言值邏輯可以歸結到 L＝ L 的情形中去。

　　真值演算　佈爾邏輯中的謂詞演算歸結為真值集L₀中的運算。為瞭定義模糊邏輯的謂詞演算，先要定義真值演算。首先在L₁中定義與（∧）、或（∨）、非(～)運算：a∧b≜min(ɑ，b)，a∨b≜max(ɑ，b),～a≜1-a。這些運算如在L₀中定義就是佈爾運算，因而它們就是佈爾運算的推廣。(L₁，∧，∨,～)滿足佈爾代數的幾乎所有公理，惟獨不滿足補餘律。補餘律是：對任意 a∈L₀，都有a∨（～a）＝1，a∧（～a）＝0，它反映瞭事物的非此即彼性。模糊性所反映的是事物的亦此亦彼性，故在模糊邏輯中不再遵守補餘律。（L₁，∧，∨，～）被稱為軟代數。

　　針對各種不同的應用背景在L₁中還定義瞭多種真值運算。L₁中所定義的任意一種真值演算 *，都可以根據擴展原理（見模糊集）擴展成為L

中的運算圱。

　　模糊謂詞演算　給定真值集L以後，記φ_L(U)＝L^U，稱任一P∈

( U)為 U上的一個模糊謂詞。它是一個映射 P： U→ L。對任意 u ₀∈ U，以 P[ u ₀]表示語句“ u ₀是 P”,它稱為模糊命題。模糊命題的真值由隸屬度來規定：

T(P[u₀]) ≜ μ_p(u₀)。

　　模糊謂詞演算完全由真值演算來確定。設在 L中定義瞭真值運算∧,∨,～，則對任意P，Q(∈

( U),可定義( P∧ Q)( u)≜ P( u)∧ Q( u)，( P∨ Q)( u)≜ P( u) ∨ Q( u)，(～ P)( u)≜～( P( u))。( ( U)),∧,∨，～)與（ L，∧，∨，～）是同構的代數結構。

　　模糊公式及其最小化　給定（L，∧，∨，～）及n個模糊變量 x₁，…，x_n,可用遞歸方法定義模糊公式如下:①0，1是模糊公式；②x₁，…，x_n都是模糊公式；③若f是模糊公式，則～f也是模糊公式；④若f，g是模糊公式，則f∧g，f∨g也是模糊公式。模糊公式僅限於這些公式。可類似於佈爾邏輯那樣定義字、子句、字組、模糊析取與合取范式等。由於補餘律不再成立，所以模糊公式的最小化與佈爾公式的最小化不同，在析取時x_i∧（～x_i）不能消去，在合取時 x_i∨（～x_i）不能消去。

　　似然推理　用模糊集合論來描述模糊推理過程稱為似然推理，其基本形式是：

這裡：u，v是變量，A，A′是U上的模糊謂詞，B，B′是V上的模糊謂詞。推理句“若u是A則v是B”（簡記為（A→B）(u，v)）是U×V上的一個模糊謂詞，亦即U與V 的一個模糊關系，定義為(A→B)(u，v)≜(A(u)∧B(u))∨(～A)(u)。當L＝L₁時,也常采用盧卡西維茨的定義:(A→B)(u，v) ≜ (1－A(u)＋B(u))∧1。當L＝L₀ 時,這兩種定義都合乎佈爾邏輯蘊含式的定義。似然推理的公式是B′＝A′∘（A→B），這裡，∘表示模糊關系的合成運算；

。∧,∨還可以分別取三角范式 T及三角餘范式 S，構成似然推理的多種模式。還有多維的、多層的似然推理。

　　模糊邏輯在系統、控制、識別和預測等方面都有廣泛應用。模糊開關系統和模糊邏輯回路均可直接化成模糊公式最小化問題來加以解決。

　　

參考書目

　L.A.紮德著，陳國權譯：《模糊集合、語言變量及模糊邏輯》，科學出版社，北京，1982。