描述函數法

　　從頻率域的角度研究非線性控制系統的穩定性的一種等效線性化方法。在蘇聯文獻中，常把這種方法稱為諧波平衡法。描述函數法是把線性控制理論中經典頻率域方法應用於非線性系統研究的一種推廣，隻適用於非線性程度較低的系統。對於非線性程度高的系統，應用描述函數法可能導致錯誤的結論。在工程技術領域中，許多實際的控制系統都能滿足描述函數法的限制條件，因而也都能應用這種方法。

典型非非線性特性及其描述函數

　　描述函數　對於一個特性不隨時間變化的非線性元件，輸入是正弦變化並不保證輸出也是正弦變化，但可保證輸出必然是一個周期函數，而且其周期與輸入信號的周期相同。將輸入正弦函數表示為x(t)＝Xsinωt,同時把輸出周期函數y(t)展開成傅裡葉級數

則非線性元件的描述函數規定為，由輸出的一次諧波分量對輸入正弦函數的振幅之比為模和它們的相位之差為相角組成的一個復函數，其表達式為

式中X是正弦輸入的振幅,Y₁是輸出的一次諧波分量的振幅,φ₁是輸出的一次諧波分量與正弦輸入的相位差。因此，一個非線性元件就可采用由描述函數表征的一個線性元件來等效。這種等效的近似性實質上就是，在使非線性元件與其等效線性元件的輸出偏差均方值為極小意義下的最優逼近。描述函數 N與輸入正弦函數的角頻率ω無關，為輸入正弦函數振幅X的一個復函數。上表列出一些典型的非線性特性的描述函數。

　　穩定性分析　描述函數的一個主要用途是分析非線性控制系統的穩定性，特別是預測系統的自激振蕩（周期運動）。對於一類由線性部件和非線性部件構成的閉環控制系統(圖1)，假定其線性部分為最小相位系統並采用頻率響應 G（jω）表示它的特性,而用描述函數N表示系統中非線性特性的近似等效特性。那麼在同一個復數平面上作出G（jω） 當ω 由0變化到∞的軌跡和-1/N當X由0變化到∞的軌跡後，就可從這兩個軌跡的相互分佈關系得到判斷此類閉環控制系統的穩定性的一些判據。

　　①穩定和不穩定判據　如果-1/N 軌跡沒有被G(jω)軌跡所包圍,則閉環控制系統是穩定的。而當-1/N 軌跡被 G（jω）軌跡所包圍時，閉環控制系統是不穩定的。在前一情況下，系統不會出現自激振蕩；在後一情況下，系統輸出將增加到安全裝置所限定的極限值。

　　②自激振蕩判據　如果-1/N 軌跡和G（jω）軌跡相交，則閉環系統的輸出可能出現自激振蕩。這種自激振蕩一般不是正弦的，其角頻率值和振幅值分別為交點處G（jω）軌跡上的ω值和-1/N軌跡上的X 值。但是，並非所有交點都能構成穩定自激振蕩。隻有-1/N軌跡的進行方向是由 G（jω）的包圍區過渡到非包圍區的那些交點（如圖2的B點）才能構成穩定自激振蕩。

　　控制系統的綜合　描述函數法對於非線性控制系統的綜合，也提供瞭方便的工具。通過引入適當的校正裝置可以改變系統線性部分頻率響應G（jω）軌跡的形狀，從而使閉環控制系統中不出現自激振蕩並確保較好的過渡過程性能。

　　描述函數法的準確度　描述函數法在分析非線性控制系統中的有效性和準確度，主要取決於非線性元件輸出周期函數中的高次諧波分量在通過線性部分後被衰減的程度。高階線性系統通常具有較好的低通濾波特性，因此用這個方法分析非線性系統時，線性部分為高階時的分析準確度往往比線性部分為低階時好得多。對於判斷自激振蕩，則當-1/N 軌跡和G（jω）軌跡接近於垂直相交時，描述函數法的分析準確度較高。

　　

參考書目

　D.P.Atherton,Nonlinear Control Engineering, Van North and Reinhold, London, 1975.