模態邏輯

　　邏輯的一個分支，它研究必然、可能及其相關概念的邏輯性質。模態邏輯所研究的命題“必然 A”和“可能 A”與通常命題演算中的命題不同。後者是真值函項，前者不是。因為，當A真時，“必然A”既可以是真也可以是假；當A假時，“可能A”既可以是真也可以是假。

　　模態三段論　早在古希臘，亞裡斯多德詳細研究過模態三段論。他把命題分為3種：①實然命題的形式是，“a是b”；②必然命題的形式是，““a必然是b”；③偶然命題的形式是，“a偶然是b”。後兩者屬於模態命題。亞裡士多德所說的“必然”，具有兩種意義。在一種意義下，“a必然是b”表示“b”所指謂的性質，是“a”所指謂的事物的本質屬性或本質屬性的一部分。這是客觀事物的必然性。由於在亞裡士多德的理論中，本質與定義是相應的，因此也可以說，這是根據命題中語詞的定義而得出的必然性。在另一種意義下，“a必然是b”表示“a是b”是由別的命題根據三段論推出的必然結論。這實質上是演繹推理的邏輯必然性。亞裡士多德所說的“偶然”是一個含混的語詞。在他的《工具論》中的有些地方，“a偶然是b”就是“a可能是b”。在這個意義上，“a必然是b”可推出“a偶然是b”。但在另外的地方，“a偶然是b”則是“a不必然是 b並且a不必然不是b”，或者是“a可能不是 b並且a可能是b”。在這一意義上，“a必然是b”就不能推出“a偶然是b”，而“a偶然是b”卻可推出“a不必然是b”。

　　把“必然”和“偶然”這兩個模態概念分別加到亞裡士多德的4種實然命題A、E、I、O上去，就可得出8種模態命題。例如，“所有 a都必然是b”，“有些a偶然不是b”等。亞裡士多德討論瞭這8種模態命題的換質與換位，也討論瞭這些命題之間的邏輯關系。他所提出的模態三段論，是至少有一前提是模態命題的三段論。他根據前提把模態三段論分為8大類：①兩個前提都是必然命題；②大前提是必然命題，小前提是實然命題；③大前提是實然命題，小前提是必然命題；④兩個前提都是偶然命題；⑤大前提是偶然命題，小前提是實然命題；⑥大前提是實然命題，小前提是偶然命題；⑦大前提是偶然命提，小前提是必然命題；⑧大前提是必然命題，小前提是偶然命題。

　　亞裡士多德的模態三段論實質上是一個公理系統。他像處理實然三段論（見三段論）一樣，把模態三段論分為第1、第2和第3格，並把第1格的模態三段論看作完美的、不需要證明的，而且主要應用換位法和歸謬法，就可以從第1格的模態三段論推出其他的模態三段論。

　　亞裡士多德的學生泰奧弗拉斯多也創造瞭一個不同的模態三段論系統。稍後，麥加拉 -斯多阿學派（見麥加拉－斯多阿學派邏輯）也對必然與可能這些模態概念進行瞭較深入的探討。在公元9～12世紀，阿拉伯邏輯學傢吸取瞭古希臘有關模態邏輯的思想並有所發展。伊本·西那把模態概念和命題的時間結合起來，創造瞭一個新的模態三段論系統。12～15世紀的歐洲經院邏輯學傢區別瞭命題模態與事物模態合的意義下的模態與分的意義下的模態。偽司各特還構造瞭一個在合的意義下的模態三段論系統和一個在分的意義下的模態三段論系統。奧康的威廉則構造瞭一個這樣的模態三段論系統：其中一個前提是在合的意義下的模態命題，而另一個前提是在分的意義下的模態命題。此外，經院邏輯學傢還研究瞭知道、懷疑、願意等主觀模態概念和應當、許可等道義概念的邏輯性質。

　　模態命題演算　模態命題演算是現代模態邏輯的基本內容之一。它是應用數理邏輯的方法研究模態命題邏輯的結果。最先開始這方面研究的是19世紀末的H.麥克考爾(1837～1907)。在他的影響下，美國哲學傢、邏輯學傢C.I.劉易斯於1914年構造瞭一個模態命題演算。他用～（不可能）作為基本符號，通過定義pɔq≡～(p-q)引入嚴格蘊涵。這裡，“ɔ”是嚴格蘊涵符號，“≡”是定義符號，～(p-q)解釋為不可能（p真並且q假）。後來劉易斯又不斷改進其模態系統，包括改進他所用的符號。1932年，他提出瞭5個以“◇”（可能）為基本符號的模態命題演算S₁，S₂，S₃，S₄，S₅。

　　20世紀30年代以後，出現瞭許多模態命題演算。其中，模態命題演算 T是一個很簡單並且直觀性很強的系統。它是在一個完全的命題演算上再加上

　　①一個基本符號：L；

　　②一條形成規則：如果 A是合式公式，則LA是合式公式；

　　③兩條公理：

　　　　　　　　　　　Lp→p，

　　　　　　　L(p →q) →(Lp→Lq)。

　　④一條推理規則：如果p是定理，則Lp是定理。

　　⑤一些定義：Mp=Dｆ¬L¬p，p⇒q=DｆL(p→q)，p⇔q=Dｆ(p⇒q)∧(q⇒p)

　　模態命題演算T有以下重要的定理：p→Mp；Lp→Mp；¬Lp↔M¬p；¬Mp↔L¬p；

　　(¬p⇒p)↔Lp；Lp→(q⇒p)；L¬p →(p⇒q)。

　　該演算中的基本符號L可以解釋為必然；引入符號M可以解釋為可能。公理Lp→p可以解釋為：如果必然p是真的，則p是真的；公理L(p →q)→(Lp →Lq)可以解釋為：當必然（如果p，則q）是真的，並且必然p是真的，那麼必然q是真的。必然性規則可以解釋為：如果p是定理，則必然p是定理。

　　在模態命題演算T上再加公理Lp→LLp，就可以得到一個實質上是劉易斯的 S₄的模態命題演算。由於在S₄中能推出定理①Lp↔LLp和②Mp↔MMp。因此，在S₄中，根據等值替換定理並應用①和②，就能分別把具有多個連接的相同模態詞的公式，化歸為隻具有一個模態詞的公式，即把LL...Lp化歸為Lp，把MM...Mp化歸為Mp。

　　在模態命題演算 T上再加公理 ¬Lp→L¬Lp，就得出一個實質上是劉易斯的S₅的模態命題演算。在 S₅中能推出：①Ｌ₁p↔Ｌ₁Ｌ₁p，②Mp↔MMp，③MＬ₁p↔Ｌ₁p，④Ｌ₁Mp↔Mp，⑤Ｌ(p∨Ｌq)↔(Ｌp∨Ｌq)，⑥Ｌ(p∨Mq)↔Ｌp∨Mq，⑦Ｌ(p0∧Lq)↔(Lp∧Ｌq)，⑧Ｌ(p∧Mq)↔Ｌp∧Mq，⑨M(p∨Ｌq)↔(Mp∨Mq)，⑩M(p∨Mq)↔(Mp∨Mq)，⑪M(p∧Ｌq)↔(Mp)∧Lq)，⑫M(p∧Mq)↔(Mp∧Mq)。應用定理①～⑫並根據等值替換定理，就可把一個多級的模態公式化歸為一個一級的模態公式。例如，把ＬMＬp∧MＬ(MＬ...Mp →Ｌq)化歸為Ｌp∧(Mp →Ｌq)。

　　模態謂詞演算　1946年，R.C.巴肯和R.卡爾納普各自獨立地構造瞭一個模態謂詞演算。巴肯的模態謂詞演算，實質上是在劉易斯的模態命題演算S₂上再加個體詞、謂詞和量詞，以及有關的形成規則，公理和推理規則的結果。在這個演算中，有下面這樣一條公理：

　　　　　　M(ヨｘ)ｆｘ →(ヨｘ)Mｆｘ

這一公式通常叫做巴肯公式。其解釋是：如果可能有的個體有ｆ 性質，則有的個體可能有ｆ 性質。但在巴肯的演算中，(ヨｘ)Mｆｘ →M(ヨｘ)ｆｘ卻不是定理。

　　模態邏輯模型　40年代末，卡爾納普開始從語義方面研究模態邏輯。50年代末到60年代初，S.坎格爾、J.欣梯卡與S.A.克裡普克等人發展瞭卡爾納普的理論，提出瞭比較完整的模態邏輯的模型理論。克裡普克所構造的模態命題演算的模型，是一個三元組〈W、R、V〉。其中W是許多可能世界的集合。一個可能世界，從直觀上說，也就是一個由許多互不矛盾但不一定現實的事物情況所組成的總體；R是可能世界之間的二元關系；V是滿足某些條件的賦值。而模態謂詞演算的模型，則在W、R、V之外至少還要加上個體域 D。根據這樣的模型就可定義模態常真式。

　　趨勢和意義　60年代以來模態邏輯有很大發展，出現瞭許多新的系統，特別出現瞭許多非標準的模態邏輯系統，如認知邏輯、道義邏輯、時態邏輯等。模態邏輯由於研究和闡明瞭必然、可能、應當、知道等本體論和認識論概念的邏輯性質，因而具有深刻的哲學意義。

　　

參考書目

　C.I.Lewis &C.H.Langford，Symbolic Logic，N.Y.The Cantury Co.，1932.

von Wright，An Essay In Modal Logic，Amsterdam，North-Holland，1951.

　G.E.Hughts &M.J.Cresswell，An Introduction toModal Logic，London Methuen，1972.