有限域

　　隻含有限個元素的域。它最先由E.伽羅瓦發現，因此又稱伽羅瓦域。有限域的特徵必為某一素數p，此時其元素個數為pⁿ。元素數為pⁿ的有限域記為GF(pⁿ)或F_pⁿ。最簡單也是最基本的有限域為

（按模 p的加乘運算）。任一有限域必為 Z _p形或有素子域（最小子域） Z _p（同構意義下）。特征為 p的有限域（即 F_p ⁿ）中有方便的計算公式： ( a＋ b) ^p= a ^p＋ b^p

　　a^p=a(∀a,b∊F_pⁿ⁾任給正整數n與素數p，在同構意義下，有唯一的有限域使其元素數為pⁿ（即F_pⁿ）。F_pⁿ是Z_p上多項式x^pn–x的全體零點，其非零元組成pⁿ–1階的循環群，且對n的任一因子d，F_pⁿ必有唯一的子域同構於F_p^d；F_pⁿ的子域與n的因子是一一對應的。有限域的理論在正交設計、編碼與密碼學及組合數學中都有重要的應用。

　　

推薦書目

　萬哲先. 代數與編碼. 北京: 科學出版社, 1976.