應用圖論研究網路的幾何結構及其基本性質的理論。又稱網路圖論。電工技術中，各類電路都可模型化為不同電路元件和連接組成的網路。因而網路拓撲是電工中研究電路的重要工具。

圖1a是一個電網路的示例，它的幾何結構可用圖1b中的線圖來表示。線上圖中電路元件的線段長短和曲直都不重要，重要的是節點和支路路的連接關系。

　　圖論研究始於1736年瑞士數學傢L.歐拉發表的關於柯尼斯堡七橋問題的論文。1845年G.R.基爾霍夫用圖論解決瞭電網絡中求解聯立方程的問題，並引進“樹”的概念，為圖論應用於電路理論奠定瞭基礎，20世紀以來，圖論應用滲透到許多學科領域，在網絡分析、網絡綜合、計算機輔助設計、網絡流等方面都占有一定地位。

　　基本概念　網絡拓撲中的線圖是節點和支路的集合。支路兩端是節點。如果圖中的各個支路都標定瞭方向，稱為有向圖（圖1b）；否則稱無向圖。由圖中部分節點和支路構成的圖稱為該圖的子圖。任意兩個節點間至少有一條路徑相通的線圖稱為連通圖。圖中由支路序列構成的一條閉合路徑稱為回路。割集是連通圖的具有以下性質的支路集合：把這些支路移去將使圖分離為兩個部分，但如少移去其中任一條支路則圖仍將連通。如圖1b中，支路e1、e2、e6、e3就構成一個割集。圖中包含全部節點、但不包含回路的連通子圖稱為圖的一棵“樹”，屬於這棵樹的支路稱為樹支，其他支路稱為連支。當圖具有n個節點和b條支路時，其樹支數為n-1，而連支數為b-n+1。圖2中表示出圖1b線圖的一些樹。

　　利用樹可方便地確定電路中電壓、電流的獨立變量，並有助於列出獨立的電路方程。在圖中任選一樹，在一樹中每增添一條連支就構成一個隻包含該連支的回路。這樣的回路稱為基本回路。這樣可構成(b-n+1)個基本回路。因為各個基本回路都包含瞭一個互不相重的連支，這組回路是獨立的，可應用基爾霍夫電壓定律列寫出(b-n+1)個獨立的回路電壓方程。在每個回路電壓方程中隻包含一個連支電壓，其餘為樹支電壓。這表明在支路電壓中樹支電壓是獨立變量，連支電壓可通過樹支電壓來表示。圖3a中給出瞭圖1b線圖的一組基本回路(粗線表示所選的樹)。

　　同理，任選一樹，每一樹支和某幾個連支可組成一個割集，稱為基本割集。這樣，可得(n-1)個基本割集，因每個基本割集包含瞭一個互不重復的樹支，這組割集是獨立的。因每一割集的支路電流代數和為零，可應用基爾霍夫電流定律列出(n-1) 個獨立的割集電流方程式。在每個割集電流方程中隻包含一個樹支電流，其餘為連支電流。這表明在支路電流中連支電流是獨立變量，樹支電流可通過連支電流來表示。圖3b中給出瞭圖1b線圖的一組基本割集。

　　在求解復雜電路時，基於選用不同的獨立變量就形成瞭不同方法。常用的節點電壓法、回路電流法、割集法就是分別選用節點電壓、回路電流(即連支電流)和樹支電壓為獨立變量的。它們的未知量數分別是n-1，b-n+1和n-1個。

　　線圖的矩陣表示　線圖的連接關系和拓撲性質可通過矩陣來描述。表示有向圖節點(參考節點除外)和支路關系的關聯矩陣A的定義是一個(n-1)×b矩陣

，其中

這樣，圖1b的關聯矩陣就是

任選一樹，如支路按先連支後樹支順序，則表示基本回路和支路關系的基本回路矩陣Bf的定義是一個(b-n+1)×b矩陣

，其中

這樣，圖3中基本回路矩陣就是

同理，表示基本割集和支路關系的基本割集矩陣 Q f的定義是一個( n-1)× b矩陣[ q ij] ，其中

這樣，圖3b中的基本割集矩陣就是

對於同一個線圖，如支路按先連支後樹支排序且編號相同，將矩陣分成連支部分和樹支部分兩個子矩陣，則3個矩陣之間有如下的關系

描述線圖的矩陣還有許多，如路徑矩陣等，這些矩陣統稱為拓撲矩陣，它們都具有許多有意義的性質。

　　電網絡方程　利用上述拓撲矩陣可以系統地把電路的基本定律表達出來。為此，按支路和節點編號順序把電路中的支路電流、支路電壓和節點電壓表示成相量，分別記為I、U、V，並把支路電流（壓）相量寫成連支電流(壓)相量和樹支電流(壓)相量的合成，即

， ，則基爾霍夫電流(KCL) 定律和電壓(KVL)定律可分別用拓撲矩陣 A、 B f、 Q f表達（見表）。另外，按各支路所含元件的參數列出支路約束方程

KCL和KVL的拓撲矩陣表達

式中Yb、Zb分別是支路的導納矩陣、阻抗矩陣(b×b階)。Is、Us分別是支路電流源電流向量、支路電壓源電壓向量綜合KCL、KVL和支路約束方程，可以證明，求解線性電路中的節點法、回路法、割集法可歸結為分別列寫和求解下列方程節點電壓方程：

　　回路電流方程：

樹支電壓方程：

方程的左端為待求的獨立變量（分別為 V， I l， U t）和其系數矩陣，在方程右端出現的 U s和 I s為支路電壓源和電流源相量。以節點方程為例，其系數矩陣 A Y b A T屌 Y n稱為節點導納矩陣，方程右端 A Y b U s- A I s屌 J n為註入節點的等效電流源相量。這種矩陣形式的方程式規則而系統，適用於計算機輔助分析。隻要把網絡的結構和參數輸入計算機，計算機就能自動地列寫出方程式。由方程解出未知量後可進一步求出支路電壓和電流。

　　電網絡的拓撲分析　根據電網絡的線圖和元件參數可直接得出表示電壓、電流關系的網絡函數。一個線性網絡的網絡函數可以用其節點導納矩陣行陣式detYn與它的代數餘子式之比來表示。J.C.麥克斯韋首先指出，RLC網絡的detYn等於網絡線圖的全部樹的樹支導納乘積之和，於是對detYn的計算就可轉化為列舉出線圖的全部樹，並計算全部樹支導納乘積之和。類似的方法也能用於求detYn的代數餘子式。這種用列舉樹的方法以求得網絡函數的方法也稱之為K-樹法，並已推廣到求解含有變壓器和受控源等元件的電路問題，在網絡分析和網絡綜合中都有所應用。

　　信號流圖法是S.J.梅森提出的用於分析線性系統的拓撲方法。將系統各物理量之間的代數關系用有向圖表示，根據一定的規則和公式可將線圖進行簡化和變換，並直接求出系統的傳遞函數。

　　拓撲分析方法使得對網絡問題的求解轉化為借助計算機來尋找線圖的樹、回路、路徑等。但是，隨著網絡中節點數和支路數的增加，對應線圖中樹和回路數目將急劇增加，因而不宜用這種方法分析規模較大的電路。

參考書目

　陳樹柏主編：《網絡圖論及其應用》，科學出版社，北京，1982。