對於時間連續信號，可利用傅裏葉變換獲得其頻譜函數；或由其頻譜函數通過反變換得到原時間函數。用公式表示為
(1))
式中
在離散信號處理中，應將傅裡葉變換的積分形式改變為離散傅裡葉變換的求和形式，把連續傅裡葉變換的積分區間化成離散傅裡葉變換的求和區間。對時域的有限區間0～tL內的信號x(t)按等時間間隔T 抽樣，得到N=tL/T個抽樣值x(nT)，n=0，1，2，…，N-1。在頻域的有限帶寬0～fs內的頻譜函數x(jω)按等頻域間隔Δf＝1/tL抽樣，即Δf=1/NT=fs/N，得到N個頻率抽樣值X(jkΔf)，k=0，1，2，…，N-1。將x(nT)記作x(n)，稱為時間序列；並將X（jkΔf）記作X（k），稱為頻譜序列。又知
，把這些關系代入傅裡葉變換式(1)，將其離散化，並考慮到時域和頻域上均為有限，即得到離散傅裡葉變換對公式
(2)
由上式可知，當給定時域信號序列x(n)的長度為N時，計算頻域上的一個抽樣值X(k)，就需要進行N次復數乘法運算和N-1次復數加法運算；要得到X(k)的N個抽樣值，就需要進行N2次復數乘法運算和N(N-1)次復數加法運算。
基本特點 從物理意義上看，非周期時間信號的頻譜是連續的和非周期的。時間信號抽樣之後成為離散時間信號，它的頻譜就變為周期性的連續譜。對頻譜函數進行抽樣，則對應的時間函數就變為周期性的連續信號。同時對時間信號和相應的頻譜函數進行抽樣，則得到離散的和周期的時間信號函數和頻譜函數，這樣就構成瞭上述離散傅裡葉變換對。
離散傅裡葉變換除有周期性之外，還具有一般線性變換的性質。
① 線性：若組合信號為幾個時域信號之和，其離散傅裡葉變換等於各個信號的離散傅裡葉變換之和。
② 選擇性：離散傅裡葉變換的算法可以等效為一個線性系統的作用。式(2)中的頻域變換值X(k)代表不同頻率的譜線輸出，這意味著離散傅裡葉變換算法對頻率具有選擇性。
③ 循環移位性：有限長度的序列x(n)可以擴展為周期序列(n)，而x(n)可以看作是周期序列中主值區間內的主值序列，它的各個抽樣序列好像放在一個N等分的圓周上，序列的移位就相當於它在圓周上旋轉，由此可依次重復地看到周期序列痽(n)。這種序列的移位稱為循環移位，或圓周移位。這種性質對計算循環褶積和循環相關很有用。
④ 其他：如序列的離散傅裡葉變換對稱性和循環褶積性（即圓周褶積性）等。
作用 離散傅裡葉變換有與傅裡葉變換相類似的作用和性質，在離散信號分析和數字系統綜合中占有極其重要的地位。它不僅建立瞭離散時域與離散頻域之間的聯系，而且由於它存在周期性，還兼有連續時域中傅裡葉級數的作用，與離散傅裡葉級數有著密切聯系。在計算速度方面，已研究出各種快速計算的算法，使離散傅裡葉變換的應用更為普遍，在實現各種數字信號處理系統中起著核心的作用。例如，通過計算信號序列的離散傅裡葉變換可以直接分析它的數字頻譜；在有限沖激響應數字濾波器的設計中，要從沖激響應h(n)求頻率抽樣值H(k)，以及進行它們之間的反運算等。
參考書目
何振亞：《數字信號處理的理論與應用》上冊，人民郵電出版社，北京，1983。
A.V. Oppenheim，R. W. Schafer， Digital Signal Processing，Prentice Hall，Englewood Cliffs，New Jersey，1975.