利用Z變換在複頻域(Z域)中對離散時間線性時不變系統在零狀態下激勵信號產生回應的問題進行分析。系統的複頻域分析包括轉移函數的研究、轉移函數的零點和極點的研究以及由此而確定系統的特性等。轉移函數一般表示為實係數多項式或實係數有理分式，可以分解為一階、二階實係數因式和一階、二階有理分式組成的部分分式。所以，研究系統的性能時著重研究二階系統的性能。
離散時間系統可以根據它的轉移函數而實現現。系統的實現可以用硬件，也可以用軟件。硬件實現是指用基本單元（如加法器、乘法器、延遲器等）；軟件實現是指用計算機程序，由輸入得出系統的輸出。
轉移函數 指系統在零狀態下響應的 Z變換與激勵的Z變換之比，即
式中H(z)、Y(z)、X(z)分別是系統的單位沖激響應h(n)、系統的響應y(n)、系統的激勵χ(n)的Z變換。由離散時間系統的差分方程
(1)
經Z變換，可得系統的轉移函數H(z)為
(2)
系統的輸入、輸出和轉移函數的關系可用框圖表示（圖1）。
由式(2)表示的系統的轉移函數，在將其分子分母多項式分解為因式後，又可表示為若幹子系統的轉移函數的乘積
(3)
式中每一Hi(z)(i=1，2，…，k)都是一階或二階有理分式，即
或
將轉移函數作部分分式展開，又有
(4)
式(4)中如果有某Pi為復數，則在求和號中必有與之共軛的項，此二項合並得到一個實系數二階有理式。
零點與極點 對系統的網絡函數的分子分母多項式作因子分解後，可以將其寫作
(5)
式中Pi(i=1，2，…，N)是H(z)的極點，zj(j=1，2，…，M)是H(z)的零點。零點、極點在Z平面上所取的位置對系統的性能有著決定性的影響。
系統的轉移函數的零點、極點可以由令分子分母多項式為零得到的方程式解出。由式(3)和式(4)可以看出，研究極點與系統性質的關系可歸結為研究一階和二階系統的極點分佈及系統性質與極點位置的關系。考察一階系統的轉移函數
式中P為實數的情況，其中A設為常數，它的沖激響應是
當0＜P＜1，h(n)隨n的增加而逐漸衰減，如圖2a所示；
當
P＝1，如圖2b所示；當
P＞1，如圖2c所示；當-1＜
P＜0，如圖2d所示；當
P＝-1，如圖2e所示；當
P＜-1，如圖2f所示。可以看出，凡是極點在單位圓內的，則系統的單位沖激響應都呈指數衰減，
h(
n)絕對可和（即
），因而系統是穩定的；當極點在單位圓外時，系統的單位沖激響應都呈指數增長，是發散的，因而系統是不穩定的；當極點在單位圓上時，
h(
n)的幅度為常數值，不是絕對可和，系統也不穩定。
對於二階系統
式中λ為復數（
），其中
A為常數，這時轉移函數的極點在Z平面上以共軛對的形式出現（圖3），
系統的沖激響應是
可見，當|λ|＜1時，極點在單位圓內，
h
2(
n)是一衰減的餘弦振蕩，系統是穩定的；當|λ|＞1時，極點在單位圓外，
h
2(
n)為一增幅的餘弦振蕩，系統是不穩定的。
綜上可見，僅當轉移函數的所有極點都在Z平面的單位圓內，系統才是穩定的。轉移函數有多重極點的情況也如此。
當已知線性時不變離散系統的數學模型時，給定其初始條件，在給定輸入序列作用下的響應即其輸出序列，可以用Z變換方法求得。