系統科學的一個數學分支。主要研究隨時間演變的動力系統的整體性質及其在擾動中的變化。微分動力系統的研究始於20世紀60年代初，其前身為常微分方程定性理論和動力系統理論。隨著對非線性力學問題研究的深入和系統科學各分支的形成，微分動力系統越來越成為有關學者關註的新興學科領域。

　　動力系統　研究隨時間演變的系統的一門分支學科，又稱動力學系統、動態系統。它的研究物件是一系統的所有可能狀態態構成的狀態空間R,以及由R 中的變換組成的演變規律

ϕt： R →R　 (－∞＜t＜∞)

這意味著系統的某一狀態x(可寫作x∈R)在時刻t遵循這一規律演變為狀態 ϕt(x)。演變規律一般需滿足下述三個條件，即：①

； ② ；③ ϕt( x)是 t和 x的連續函數。為瞭能夠滿足③中對初值 x的連續性，狀態空間 R應具有拓撲構造，例如 R是歐幾裡得空間或是它的子集。通常，在客觀事物的建模過程中，這種要求是能得到滿足的。若在一拓撲空間 R上存在變換 ϕt: R → R(－∞＜ t＜∞)滿足條件①～③,則 x、 R 和 ϕt所描述的系統就稱為拓撲動力系統，簡稱動力系統。

　　經過每一給定點x∈R有一條軌道，它是由所有諸點ϕt(x)(t∈(－∞,∞)) 所組成的集合{ϕt(x)|t∈(－∞,∞)}。R被分成互不相交的軌道的集合,呈現為這一動力系統的相圖。若一條軌道僅含一個點，則該點稱為奇點或休止點。對於某一數t0＞0及所有的0＜t＜t0，若某一條軌道P上有點x0滿足

,則 P 稱為周期軌道。奇點和周期軌道在相圖中處於特殊的地位。動力系統的研究方法一般是定性的,並關心整體性,著重於軌道彼此間的關系。例如，一點 x∈ R，如果它在 R 中的每一鄰域 N都有域回歸性,即恒有充分大的 t使 N∩ ϕt( N)(即 N 集與 ϕt( N)集的交集)非空, 則該點叫做非遊蕩點。所有這些非遊蕩點構成 R中的一個閉子集 Ω,叫做非遊蕩集,它在變換 ϕt(-∞＜ t＜∞)下保持不變,即 ϕt( Ω)= Ω，t∈(－∞,∞)。相圖中除奇點和周期軌道上的點以外,還存在非遊蕩點，這是造成相圖結構復雜性的重要根源。

　　微分動力系統　如果R為n維歐幾裡得空間En，或更一般地是其中的一開子集G,且ϕt(x)恒對t可微:dϕt(x)/dt=s(ϕl(x)),則稱這動力系統由常微分方程組dx/dt=s(x)或常微系統s所產生。相反地，如果G上已給有一常微系統s滿足適當條件,例如它是C1的(即對x∈R有連續的一階偏導數),則根據常微分方程基本理論，常微系統s過每一點x∈R 都在一相應的最大實數區間上有解（以該點為初值），從而產生一動力系統。同樣的討論可施加到R為一n維光滑流形Mn的情況，從而得出Mn上的常微系統和微分動力系統。Mn上的常微系統也等價於說它是Mn的切向量場。例如2自由度的哈密頓系統與它的3維能量曲面相切，就是這種切向量場的一例。

　　若Mn是緊致的（即從Mn的任一開覆蓋恒可取一有限子覆蓋,例如球面、環面這樣一些閉曲面）,則Mn上任一C1常微系統X恒產生一動力系統，並且Mn上所有C1常微系統將以自然方式構成一巴拿赫空間X(Mn),具有C1模

1。 1充分小意味著 X在每一點 x∈ Mn處就給定的局部坐標系來說，其向量長度和雅可比方陣的模也都充分小。20世紀80年代中後期,關於微分動力系統的研究,在緊致流形下得出的成果是最豐富的部分。

　　下面討論的Mn為緊致情況，有的可類推至非緊致情況。任給s∈X(Mn),設它（所產生的動力系統）的軌道、相圖、奇點、周期軌道和非遊蕩集 (記作Ω(s))等如前。如果s在奇點a處（就局部坐標系來說）的雅可比方陣的所有特征根實部都不為零,則稱這奇點為雙曲的。設P是s的一周期軌道,取Mn中一n-1維子微分流形B構成P在其上一點處b的截痕。則從B上鄰近於b的點出發的軌道第一次再交於B,就給出B上繞b處的一局部C1微分同胚g。如果g在b處的雅可比方陣的所有特征根絕對值都不等於1，就稱P為雙曲的。

　　結構穩定　微分動力系統研究自60年代初興起以來，到80年代已成為動力系統研究中一個非常活躍的部分。它所取得的成果比起19世紀末葉由H.龐加萊開始的，而在20世紀前期又由G.D.伯克霍夫等人擴展的常微分方程定性理論和動力系統來，已有質的不同，其特點主要表現在整體性的擾動問題上，首先在所謂的結構穩定性上。

　　Mn上一C1常微系統s，如果它的C1小擾動不改變它的相圖的拓撲結構，確切地說,即如果s在X(Mn)中有一鄰域Γ，使得隻要X∈Γ，即有拓撲變換 Mn→Mn把s的軌道映至X的軌道，就認為S是結構穩定的。

　　早在1937年，蘇聯科學傢A.A.安德羅諾夫和Л.龐特裡亞金已對於平面圓盤上某類常微系統提出結構穩定的概念，並在它們是解析系統的情況下敘述瞭結構穩定的充分必要條件。但隻有在過瞭20多年，M.佩肖托重新考慮原有的成果,給出稠密性定理,並推廣到閉曲面上，從而得出X(M2)中每一系統都可以用具有較簡單相圖構造的結構穩定系統來逼近這一結論後，它才引起人們認真註意。

　　當初，佩肖托證明的稠密性定理指出，X(M2)中有稠密子集，由結構穩定系統組成。他證明的特征性定理指出：X(M2)中一系統是結構穩定的，當且僅當它們的非遊蕩集僅由有限個數的雙曲奇點和雙曲周期軌道組成，且沒有鞍點聯結，即沒有過常點的軌道正向和負向都趨近於鞍點。在Mn維數高的情況下，結論要復雜得多。60年代初逐漸形成的大范圍分析的數學分支（一種較多地滲透瞭幾何、拓撲思想的，流形上的分析學），為此提供瞭一種有用的研究工具。

　　與2維情況不同,當n≥3時，X(Mn)中一結構穩定系統有時可能有無限多個周期軌道。將60年代初期出現的斯梅爾馬蹄或托姆環面自同構通過所謂扭擴的辦法即可得出這種3維情況的例子。當n≥3時,X(Mn)也不一定有由結構穩定系統組成的稠密子集。

　　雙曲構造　設s∈X(Mn)在Mn上產生的動力系統為ϕt(－∞＜t＜∞)。由於s是C1的，可考慮微分dϕt在Mn的切叢T(Mn)上給出的動力系統。

dϕt：T(Mn)→T(Mn)　　 (－∞＜t＜∞)

任取定Mn上一黎曼度量。Mn中一閉子集∧叫做s的雙曲集或稱s在∧上有雙曲構造,如果∧在ϕt(－∞＜t＜∞)下不變，且部分叢TΛ(Mn)有直和分解

TΛ(Mn)=F-⊕{S|∧}⊕F+

其中{s|∧}由s|∧產生,而F-和F+都在dϕt下不變,且存在數λ＞0及σ＜0，使得

||dϕt(u)||≤λ||u||exp(σt)　 對u∈F-及t≥0，

||dϕ-t(u)||≤λ||u||exp(σt) 　 對u∈F+及t≥0。

∧的雙曲性質與Mn上的黎曼度量如何選取無關。例如,前面提到的雙曲奇點和雙曲周期軌道也正是這裡所指的雙曲集。若Q是S的軌道包含在S的一雙曲集內，則

(其中dist表示Mn上一拓撲度量)都將是Mn中的C1浸入子微分流形，分別稱為Q 的穩定流形和非穩定流形。

　　曾經有一種推測認為,S 結構穩定,當且僅當它滿足①公理A:S 在非遊蕩集Ω(S)上有雙曲構造，且Ω(S)有由奇點和周期軌道構成的稠密子集；②強勻斷條件：若Q1和Q2是S 的軌道⊂Ω(S)，則W-(Q1)與W+(Q2)恒勻斷相交，這意味著W-(Q1)和W+(Q2)在任一x∈W-(Q1)∩W+(Q2) 處的切空間張開成Mn在x處的切空間。這一推測是前述2維特征性定理的推廣形式，它的充分性部分早已由C.魯賓孫驗證。關於必要性部分的證明主要須證明S在Ω(S)上有雙曲構造，目前尚隻在低維情況下有部分答案。

　　另一種重要的穩定性是所謂Ω穩定性。S 叫做Ω穩定的，如果它在X(Mn)中有一鄰域Δ，使得隻要X∈Δ，即有從Ω(S)到Ω(X)上的拓撲變換，把S在Ω(S)中的軌道映到X的軌道。若S是Ω穩定的,則它是否在Ω(S)上有雙曲構造，這個問題也還隻有部分答案。顯然，結構穩定蘊涵Ω穩定。若n≥3，X(Mn)一般也沒有由Ω穩定系統組成的稠密子集。

　　關於這方面的研究，一個有用的工具可能是所謂聯系於X∈X(Mn)的阻礙集Ob(X)。例如,s滿足公理A和強勻斷條件，當且僅當I(S)∪Ob(S)是空集,其中I(S)表示S的奇點集合在Mn中的內集。若Ob(S)非空,則存在關於S的極小歧變集。

　　離散系統　設Diff(Mn)是Mn上由所有C1微分同胚組成的集合,取C1拓撲。對於f∈Diff(Mn)所產生的離散系統，可以與常微系統情況相平行地引入一些概念。例如f過一點x∈Mn的軌道是{fp(x)|p＝0,±1,±2,…}。如果f在Diff(Mn)中有一鄰域K，使得隻要g∈K，就一定可找到一拓撲變換η:Mn→Mn滿足ηf=gη,則稱f為結構穩定的。

　　文獻上先出現有關微分同胚所產生的離散系統的論述，然後再擴充到常微系統，這種情況是頗為常見的。例如上述關於結構穩定的推測原是帕利斯和S.斯梅爾先就微分同胚提出，其充分性的驗證也是J.羅賓先就C2微分同胚給出，然後經他人推廣到常微系統。但用扭擴辦法，從有關常微系統的成果也常可直接導至離散系統的成果，把後者作為前者的特例來處理。關於離散系統的研究也已延伸至半離散系統。

　　進展　在微分動力系統的研究中，關心的是系統的性質（主要是整體性質）及其在擾動中的變化。在研究結構穩定與Ω穩定的同時,人們發現s∈X(Mn)的相圖不僅可能很復雜，而且在擾動中又可能變化多端，不管是隨機的還是確定性的，當S 有一鄰域不含有任何Ω穩定系統時，更顯得有此可能。這反映瞭自然界的一些混沌現象，因而受到關註。因此,從洛倫茨方程到呂埃爾-泰肯引進奇異吸引子概念，從費根鮑姆常數到倍周期分岔等一系列成果，推動瞭這個領域中計算機仿真、科學實驗和數學論證三方面相結合的研究。

　　70年代末以來，中國科學傢錢學森致力於系統學和系統科學體系的建立。微分動力系統的理論成果可以為這一體系的形成作出貢獻。作為系統科學的一部分，微分動力系統這一數學分支須考察怎樣和其他部分相配合。在這方面微分動力系統尚處於亟待發展的階段。

　　

參考書目

　M.C.Irwin，Smooth Dynamical Systems,AcademicPress,New York,1980.

　S.Smale，The Mathematics of Time,Springer-Verlag,New York,Heidelberg, Berlin,1980.

　Liao Shantao，Standard systems of differential equations and obstruction sets with applications to structural stability problems, in Proceedings of the 1983 Beijing Symposium on Differentiaal Geometry and Differential Equations, Science Press, Beijing,1986.

　G.I.Barenblatt，G.Iooss and D.D.Joseph(eds), Non-linear Dynamics and Turbulence, Pitman, Boston-London-Melbourne,1983.