力學系統平衡位置穩定性

　　在平衡狀態的力學系統受到微擾後由於其平衡位置的特殊性而引起的穩定性問題。若不論時間多長，受微擾後的系統對原位置的偏差能隨初始擾動的減小而受到任意指定的限制，則此位置是穩定的；反之，該位置是不穩的。例如小球在豎立的圓形輪圈上有兩個平衡位置，最高點A是不穩定位置，最低點B是穩定位置。

　　1644年E.托裏拆利發現，當物體系統的重心處於最低位置時，該該系統是平衡的。托裡拆利的“平衡”隻指穩定的平衡。平衡位置的穩定性可看成運動穩定性的特例。

　　一個力學系統可有幾個平衡位置，有些是穩定的，有些是不穩定的。一個有n個自由度的完整系統，其位置由n個廣義坐標q₁，q₂，…，q_n來確定。要研究系統的穩定性，一般可通過坐標變換，使所要討論的一個平衡點正好是坐標系的原點，對這原點有：q₁=q₂=…=q_n=0和佚₁=佚₂=… =佚_n=0

。又由於力系平衡，因此各廣義力 Q_i為零，即

Q₁=Q₂=…=Q_n=0

。

對原點為平衡點的情況，坐標 q ₁， q ₂，…， q_n就表示離開這位置的偏差。系統平衡穩定性的定義是：設在時間 t= t ₀有一擾動，使系統產生偏差 q 和佚 ( i=1，2，…， n)。如果對於任意 ε＞0可找出 δ＝ δ( t)＞0，使

｜q

｜＜ δ，｜佚 ｜＜ δ　　( i=1，2，…， n)

成立，且對任何時刻 t＞ t ₀有不等式：　

｜q_i(t)｜＜ε，｜佚_i(t)｜＜ε　(i＝1，2，…，n)

則稱系統在此平衡位置是穩定的。

　　如果對上述擾動在有限時間t₁＞t₀內有：

｜q_i(t)｜=ε，｜佚_i(t)｜=ε，

則系統在此位置是不穩定的。

　　1788年J.-L.拉格朗日在它的《分析力學》書中指出：“如果一個保守系統的勢能（見能）在某個平衡位置是個孤立的極小值，則此位置是穩定的。”這個定理後來被P.G.L.狄利克雷嚴格證明。

　　1892年A.M.裡雅普諾夫得到上述定理的一部分逆定理：“若保守完整系統的勢能在某平衡位置是個極大值，則此平衡不穩定。”

　　Н.Г.切塔耶夫把上述定理加以擴充後變為：“若保守完整系統的勢能在某平衡位置無極小值，則此平衡不穩定。”

　　對於存在著雅可比積分的動力系統，它的動能表示式

。哈密頓函數(見 哈密頓原理) H= T ₂- T ₀+ V＝常量， T ₁不出現在 H中，這是與陀螺力（見 陀螺儀）不作功有關。對這樣的系統，當 V- T ₀在平衡點有一孤立的極小值時，則此平衡位置是穩定的。

　　對於存在著耗散力Q_i的非保守系統，哈密頓函數H的

。由於 Q_i與佚 _i方向相反，所以阻尼力作負功，即 永不為正。如果 是負定函數， H是正定函數，那麼依然可證明拉格朗日定理成立。耗散力不影響平衡點穩定的性質，原穩定者仍穩定，不穩定者仍不穩定。

　　力學系統除平衡位置的穩定性以外，尚有彈性穩定問題。這是指具有特殊結構和尺寸的彈性構件受到超臨界力的載荷時所引起的穩定性問題；例如，兩端受壓力作用的細長桿的穩定性問題，外壓大於內壓的容器穩定性問題等。

　　

參考書目

　L.Meirovitch，Methods of Analytical Dynamics，Mc-Graw-Hill，New York，1970.