一個具有兩種二元運算的代數系統。設在集合R中已定義瞭加法與乘法，而R在加法下是一個交換群，且乘法對加法有分配律，則R稱為一個非結合環。此時R中就有惟一的零元素θ，使得對α∈R恒有α+θ=α；；R中每個α有惟一的負元素-α，使α+(-α)=θ，可簡記α+(-b)為α-b。分配律可推廣為：α(b±с)=αb±αс，(b±с)α=bα±сα；用數學歸納法可證

在非結合環 R中恒有： αθ= θα= θ； α(- b)=(- α) b=- αb；(- α)(- b)= αb；( nα) b= α( nb)= nαb，其中 α、 b為 R中任意元素， n為任意整數。如果非結合環 R還具有性質： α 2= θ（ α∈ R），且雅可比恒等式成立，即在 R中恒有( αb)с+( bс) α+(с α) b= θ，那麼 R稱為一個李環。如果非結合環 R的乘法適合交換律，且在 R中恒有

　　 [(αα)b]α=(αα)(bα)，那麼R稱為一個若爾當環。在非結合環的研究中，李環與若爾當環是內容最豐富的兩個分支。如果非結合環R的乘法適合結合律，那麼R稱為一個結合環或環。如果在環R中再規定如下的一個新乘法“。”（稱為換位運算）：α。b=αb-bα，那麼R對原來的加法與新有的乘法是一個李環；若規定的新乘法為“·”（稱為對稱運算）：α·b=αb+bα，則R便成一個若爾當環。

　　設S是非結合環R的一個非空子集，若對於R的加法與乘法，S也構成一個非結合環，則S稱為R的一個子環。一個真正的非結合環（即其中有三個元素在相乘時不適合結合律）的一個子環，有可能是一個結合環。非結合環R的若幹個子環的交，仍是R的一個子環。當T為R的一個非空子集時，R中所有含T的子環的交顯然是R中含T的最小子環，稱之為R的由T生成的子環。如果非結合環R中任意三個元素生成的子環恒為結合環，那麼R已經是一個結合環；如果R中任意兩個元素生成的子環恒為結合環，那麼R稱為一個交錯環；如果R中任意一個元素生成的子環恒為結合環，那麼R稱為一個冪結合環。在冪結合環中，第一、第二指數定律即

恒成立。如果一個交錯環的乘法還適合交換律，那麼它稱為一個交錯交換環。在交錯交換環中，不僅有第一、第二指數定律成立，而且有第三指數定律即 成立；還有二項式定理。

　　結合環與交換環的典型例子如：F上的n階全陣環，即數域（或域）F上的所有n階矩陣在矩陣的加法與乘法下構成的一個環。V的完全線性變換環，即F上的一個向量空間V的全部線性變換在變換的加法與乘法下構成的一個環。F上的多項式環，即F上一個或若幹個文字的多項式全體構成的一個交換環。整數環，即全體整數構成的一個交換環；全體偶數構成它的一個子環，稱為偶數環。R上的n階全陣環，即在任意一個環R上的全部n階矩陣，對於仿通常矩陣的運算定義的加法與乘法構成的環，記為Rn。[0，1]上的全實函數環，即定義在區間[0，1]上的全部實函數，對於函數的加法與乘法構成的一個交換環。整數模n的環Rn*，即模n剩餘類，對於剩餘類的加法和乘法構成的一個交換環。它是隻含有限個元素的交換環的典型例子。

　　若一個環R中含有一個非零元素e≠θ，使對每個x∈R有ex=xe=x，則e稱為R的一個單位元素。一個環若有單位元素，則它必然是惟一的。設R是一個含有單位元素的環，α是R中一個元素，若R中有元素b，使αb=bα=e，則b稱為α的一個逆元素。當α有逆元素時，其逆元素必然是惟一的，記為α-1，α-1也有逆元素，而且就是α，即(α-1)-1=α。R的零元素θ必無逆元素。若R的每個非零元素都有逆元素，則R稱為一個體或可除環。四元數代數就是典型的體。在體的定義中再規定其乘法適合交換律，就是域的定義。

　　理想　設S是環R的一個非空子集，所謂S是R的一個左理想，意即①S是R作為加法群時的一個子群；②當α∈S，x∈R時，則xα∈S。若有αx∈S，則S稱為R的右理想。如果S既是R的左理想，又是R的右理想，則稱S是R的一個理想。例如，{θ}是環R的一個理想。設l1、l2都是環R的左理想。R中所有的元素α+b(α∈l1，b∈l2)作成R的一個左理想，並稱之為l1與l2的和，記為l1+l2。R中所有的有限和

作成 R的一個左理想，稱為 R的左理想 l 1與 l 2的積，記為 l 1 l 2。易知 R的左理想的加法適合交換律與結合律； R的左理想的乘法適合結合律且對加法有分配律。對於 R的右理想的加法與乘法也有類似結果。由於左理想與右理想的對稱性，因此以下關於左理想的討論，對於右理想也適合。環 R的兩個左理想的和的概念可以推廣成若幹(有限或無限)個左理想 l i的和 l i，它是由所有的有限和 所構成的。如果這些 l i均非零，而且在 l i中每個元素 α= α i的表法是惟一的，那麼 R的這組左理想 l i( i∈ i)稱為無關的。環 R的兩個左理想的積的概念可以推廣成任意有限多個左理想 l 1 ，L 2，…， l n的積 l 1 l 2… l n。特別，當這些 l i都是 R的同一個左理想 L時，此積簡記為 l n。設 T是環 R的一個非空子集。 R中有元素 α，它能從左邊去零化 T中每個元素即 αT=｛ αt| t∈ T｝是｛ θ｝，例如 R中的零元素 θ就是這樣一個元素。 R中所有這種元素作成 R的一個左理想，稱為 T在 R中的左零化子，或 R中的一個左零化子。

　　如果環R的任意一組左理想中恒存在極小的左理想，那麼環R稱為滿足左極小條件，或降鏈條件。所謂極小左理想，是指一組左理想中的一個左理想，它不能真正的包含組中任何左理想。同理可定義環R的左極大條件(或升鏈條件) 以及環R的左零化子的極小與極大條件。由於環R的左零化子僅僅是R的一類特殊的左理想，所以環R的左零化子的極小與極大條件，分別弱於R的左極小與左極大條件。若環R滿足左極大條件，則R中左理想的任何無關組必為有限的。滿足左極小條件的環又稱為左阿廷環；滿足左極大條件的環又稱為左諾特環；一個環滿足條件：①它的左理想的任何無關組恒為有限的；②它的左零化子滿足極大條件，稱為左哥爾迪環。由上述可知，左諾特環恒為左哥爾迪環。

　　設N是環R的一個理想。首先，R作為一個(交換)加法群時，則N就是群R的一個正規子群。N在R中的全部陪集對於陪集的加法(α+N)+(b+N)=(α+b)+N作成一個(交換)加法群。其次，規定(α+N)(b+N)=αb+N，這與陪集的代表元素α、b的取法無關。易知陪集的這種乘法，適合結合律且對加法有分配律。於是就得到一個環，並稱之為環R關於其理想N的剩餘類環，記為R/N。它與環R有同態關系。所謂同態，是指對於兩個環R1、R2，有一個從R1到R2上的映射σ：R1→R2，使對任意α·b∈R1恒有σ(α+b)=σ(α)+σ(b)，σ(αb)=σ(α)σ(b)。R2是R1在σ下的同態像，記為

。對任意環 R及其任意理想 N，隻要定義 σ( α)= α+ N就得到 R到 R/ N上的一個同態映射，特稱之為自然同態映射。如果環 R 1到環 R 2上的一個同態映射 σ，又是一一映射，那麼 σ稱為同構映射，記為 。可以證明，如果 σ是環 R到環 R′上的一個同態映射，那麼 R中所有滿足 σ( α)= θ′∈ R′的元素構成 R的一個理想 N，稱為 σ的核，且有 R/ N≌ R′；如果環 R滿足左極小（或極大）條件，那麼其任意同態像亦然。

　　設l是環R的一個左理想，如果有正整數n使ln={θ}，那麼l稱為冪零的。如果對l中每個元素α恒有正整數n(α)使

，那麼 l稱為詣零的。顯然冪零左理想必為詣零左理想，但反之則未必。對 R的右理想也有相應的定義。如果 P是環 R的一個理想，而對 R的任意兩個理想 A、 B，隻要 AB⊂ P，就必有 A⊂ P或 B⊂ P，則 P稱為 R的一個質理想或素理想。如果環 R的零理想｛ θ｝是 R的一個質理想，那麼 R稱為一個質(素)環。如果環 R除｛ θ｝外不再含其他的冪零理想，那麼 R稱為一個半質(素)環。質環恒為半質環，但反之則未必。

　　結構理論　設R1，R2，…，Rm均為環R的非零子環。如果R的每個元素α均可惟一地表為

，且當 i≠ j時恒有 ，那麼 R稱為 R 1， R 2，…， R m的環直接和(或簡稱直和)，記為

。此時諸 R i均必為環 R的理想且 R滿足左極小（極大）條件，必要而且隻要諸 R i均然。當一個非零的環不能表為兩個以上的非零子環的環直接和時，則稱之為不可分環。例如非零的單純環(即除｛ θ｝與自身外不再含其他理想的環)就是不可分環。

　　一個非零的環R為左阿廷質環，必要而且隻要有體K使

。此時若又有體 T使 ，則必有 T≌ K， m= n。這樣的環必為單純環，又稱為阿廷單純環。一個非零的環為左阿廷半質環，必要而且隻要它是有限個阿廷單純環的環直接和。這樣的環又稱為阿廷半單純環。一個阿廷半單純環為不可分環，必要而且隻要它是阿廷單純環。以上結果統稱為韋德伯恩-阿廷結構定理。設 R是任意一個左阿廷環，於是 R的詣零左、右理想恒為冪零的； R的所有冪零左理想的和又等於 R的所有冪零右理想的和，從而這個和 N是 R的惟一最大冪零理想，稱為 R的根，而且當 N＜ R時，剩餘類環 R/ N是阿廷半單純環。

　　對環R中元素α，如果存在α′∈R，使α+α′+αα′=α+α′+α′α=θ，那麼α稱為擬正則的，而且α與α′互為擬逆。例如，詣零元素α就是擬正則的，當αn=θ時，α′=-α+α2-

。又如整數環中的－2 也是擬正則的，其擬逆即－2自己。如果環 R的一個左(或右)理想 l的每個元素 α都是擬正則的(此時 α的擬逆 α′亦必在 l中)，那麼 l稱為 R的一個擬正則左(或右)理想。任意環 R中恒存在惟一的最大擬正則理想 J，稱為 R的雅各佈森根，它包含 R的所有擬正則左與右理想，且剩餘類環 R/ J不含非零的擬正則左與右理想。特別，當 J=｛ θ｝時， R稱為雅各佈森半單純環。於是任意環 R關於其雅各佈森根 J的剩餘類環 R/ J，便恒為雅各佈森半單純環。非零的滿足左極小條件的雅各佈森半單純環就是阿廷半單純環。

　　左分式環　如果在環R中有α≠θ，b≠θ，而αb=θ，那麼α稱為左零因子，b稱為右零因子。一個非零元素如果既非左零因子，又非右零因子，那麼這個非零元素稱為正則元。設Q是一個有單位元素e的環，R是它的一個子環，如果R的每個正則元α在Q中有逆元素α-1，且Q中每個元素β均可表為β=α-1b(其中α、b∈R且α為正則元)，那麼Q稱為R的一個左分式環。設R是一個非零的環，則R是哥爾迪質環，必要而且隻要R有一個左分式環為阿廷單純環；R是哥爾迪半質環，必要而且隻要R有一個左分式環為阿廷半單純環。

　　所謂環R是一個左奧爾環，即指R含有正則元而且滿足左奧爾條件：對α、b∈R（其中b為正則元），恒有α1、b1∈R(其中b1是正則元)使得b1α=α1b。當環R無零因子時，左奧爾條件即R中任二非零元有共同的非零左倍元。一個環R有左分式環，必要而且隻要R是一個左奧爾環。

　　序環　所謂環R的偏序關系“≤”，是指“≤”在環R的元素之間具有以下性質：①自反性，即對每個α∈R恒有α≤α；②傳遞性，即當α≤b，b≤с時有α≤с；③反對稱性，即當α≤b，b≤α時有α=b；④如果α≤b，那麼對x∈R恒有α+x≤b+x；⑤當θ≤α，θ≤b時有θ≤αb。有偏序關系存在的環，稱為偏序環。在偏序環中，當α≤b，с≤d時，就必有α+с≤b+d；當α≤θ，θ≤b時，就有αb≤θ，bα≤θ；當α≤θ，b≤θ時，就有θ≤αb。在偏序環中，若α≤b且α≠b，則記為α＜b。當θ＜α時則稱α是一個正元素；當b＜θ時則稱b是一個負元素。當α為正元素時，則－α必為負元素；當b為負元素時，則－b必為正元素；當偏序環中無左、右零因子時，就有兩個同號元素（即同為正元素或同為負元素）相乘為正；兩個異號元素相乘為負。如果偏序環R中任意兩個元素α、b均有α≤b或者b≤α，那麼就說R是一個序環。例如整數環在通常數的小於等於關系“≤”下就是一個序環。

　　發展概況　環論的發展可追溯到19世紀關於實數域的擴張及其分類的研究。F.G.弗羅貝尼烏斯、J.W.R.戴德金、É.(-J.)嘉當、W.R.哈密頓和T.莫利恩等人是發展超復系理論的主要數學傢。後來，發展成一般域上的代數結構理論，是源於J.H.M.韋德伯恩在1907年發表的著名論文。A.A.阿爾貝特、R.（D.）佈饒爾及（A.）E.諾特等人發展與簡化瞭單純代數理論與算術的理想理論，在1927年E.阿廷的論文又把代數結構的主要結果推廣到具極小條件的環上，而成為韋德伯恩-阿廷結構定理。此後對於不具鏈條件的環換成一些拓撲或度量的條件進行研究，如J.馮·諾伊曼與F.J.默裡在希爾伯特空間中研究變換環，馮·諾伊曼的正則環理論與И.М.蓋爾范德的賦范環論等。19世紀40年代後，一般環的根理想理論應時而起，迅速發展，其中尤以雅各佈森根與半單純環以至本原環理論較為系統而深入。1958年A.W.哥爾迪對具極大條件的環得到瞭至善的結果。在體論以及非結合環中的若爾當環與雅各佈森環的研究，近年來均甚為活躍。

　　

參考書目

　N.Jacobson，Structure of Rings，2nd ed.，Amer.Math.Soc.，Providence，R.I.，1964.

　N.J.Divinsky，Rings and radicals，George Allen &Unwin，London，1965.

　F.A.Száiz，radicals of Rings，Akadémiai Kiadò，Budapest，New York，1981.