子集公理模式

　　將它寫成公式，就是：

　　　　　∀zヨy∀u(u∈y↔u∈x∧φ(u))。

這樣得到的y是x的子集，其元素都是x的元素。該公理因此而得名。

　　子集公理模式的提出，是為瞭對集合的規模加以限制，即把集合論的創始人G.F.P.康托爾所認為的滿足一個性質的全體對象組成一個集合，這樣一種概括過程限制在一個已知集合之內，以避免悖論，如羅素悖論、佈拉裡-弗蒂悖論等。

　　在集合論中，有瞭外延性公理、空集公理、對集公理、子集公理模式、並集公理、冪集公理和無窮性公理這7條公理，就可以定義自然數、實數等數學對象，但仍有很多重要的集合產生不出來。為此，還得有一個更強的公理。

　　替換公理模式設φ為含自由變項u，υ的公式，u，υ以外的自由變項可看作參量，並且對每個u至多有一個υ使φ(u，υ)成立，那末對任何集合x都存在集合y，y恰由對x中的u使φ(u，υ)成立的υ組成。即：

∀u∀υ∀ω(φ(u，υ)∧φ(u，ω))→∀xヨy∀υ(υ∈y↔

　　　　 ヨu(φ(u，υ)∧u∈x))。

替換公理也是無窮多條，而且對每個公式φ都有一條公理。

　　由替換公理可以推出子集公理。利用替換公理，取x=ω，(u，υ)為(u∈ω∧υ=ω+u)，可以證明y={ω，ω+1，…}是集合；若再用並集公理就可得到ω+ω是集合。類似地還可以證明{埲，埌，…}也是集合。

　　超窮遞歸定理的證明離不開替換公理，而且在定義序數運算和討論集合論的模型時也都離不開替換公理。